On conservative and entropic discrete axisymmetric Fokker-Planck operators

We study, in axisymmetnc geometry, a discretization of the Fokker-Planck operator that preserves the physical properties which are decrease of the kinetic entropy and conservation of mass, momentum and energy and only those quantifies For this purpose, we exhibit how the above properties are conséquences, first, of the algebraic structure of the Landau form of the Fokker-Planck operator and, secondly, of an intégration step Then we show that, even in our particular geometry, it is easy to make discretizatwns preserving the algebraic structure Concerning the second point we provide an analysis inducing necessary and sufficient conditions on the discrete dérivation operators Consequently, a discrete Fokker-Planck operator decreasing the kinetic entropy and conserving mass, momentum and energy is easy to buüd Yet, a discrete Fokker-Planck operator conserving only those quantifies is not so easy to get and in particular it cannot involve vertex-independent finite différence operators We then bmld an actual implemented operator which we vahdate on physically reahstic examples of plasma collisions © Elsevier, Paris Mathematical Subject Classification 65M06, 82C40, 82C80, 82D10 Résumé —Nous étudions en géométrie axisymétrique, une discrétisation de Vopérateur de Fokker-Planck respectant les propriétés physiques importantes que sont la décroissance de l'entropie cinétique et la conservation de la masse, de l'impulsion, de l'énergie et exclusivement ces trois quantités Pour ce faire, nous montrons que ces propriétés sont la conséquence de la structure algébrique de l'opérateur de Fokker-Planck écrit sous la forme de Landau d'une part, et d'autre part d'une relation intégrale Puis nous montrons que même en géométrie axisymétnque, il est simple de réaliser des discrétisations préservant la structure algébrique Concernant le second point, nous déduisons une condition nécessaire et suffisante sur les opérateurs de dérivation discrets pour préserver la relation intégrale En conséquence, il est simple de construire des opérateurs de Fokker-Planck discrets réalisant la décroissance de l'entropie cinétique et la conservation de la masse, de l'impulsion et de l'énergie En revanche, l'obtention d'un opérateur conservant exclusivement ces quantités et plus délicate En particulier, il ne peut se construire à l'aide d'opérateurs de dérivation discrets uniformément définis sur le maillage Enfin, nous construisons l'opérateur effectivement implémenté dans notre code que nous validons sur des exemples physiquement réalistes de collisions de plasmas © Elsevier, Pans